Résumé

Le problème de l'équilibre et de la stabilité d'une masse fluide homogène incompressible m₁ soumise à l'effet de marée d'un compagnon m₂ et animée ou non d'un mouvement de rotation uniforme fut considéré pour la première fois par Roche dans ses études sur la constitution et l'origine du système solaire. Il montra que la figure d'équilibre peut être un sphéroïde allongé dans le cas le plus simple (m₁ sans rotation) et, moyennant certaines hypothèses, un ellipsoïde à 3 axes inégaux (a_l > a₂ > a₃) dans l'autre cas. Jeans reprit le problème et en discuta quelques applications astronomiques ; il étudia ainsi la stabilité du sphéroïde (appelé depuis lors sphéroïde de Jeans) par la méthode des séries linéaires de Poincaré. Récemment, Chandrasekhar et Lebovitz déterminèrent, sur la base du théorème du viriel, les fréquences des petites oscillations du sphéroïde et de l'ellipsoïde pour les harmoniques de surface de degré l = 2. Dans ce travail, nous étudions successivement la stabilité dynamique des deux figures par la méthode générale des petites perturbations. Nous établissons ainsi la formule générale donnant toutes les fréquences d'oscillation du sphéroïde et les équations aux valeurs propres déterminant les fréquences de l'ellipsoïde associées aux harmoniques de Lamé de degré 2 et 3, Nous considérons ensuite la stabilité séculaire des deux figures ; d'abord par la méthode des coefficients de stabilité de Poincaré, puis par les équations du viriel ; nous montrons en particulier que l'instabilité séculaire de l'ellipsoïde précède son instabilité dynamique et qu'elle apparaît par un mode purement visqueux (c.-à-d. se manifestant seulement en présence de viscosité).

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