https://popups.uliege.be/0369-1799 fr https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=195 Ce livre est destiné à intéresser différentes catégories d’intellectuels. Beaucoup d’entre eux notamment ceux qui, à l’université, sont attachés à la faculté de philosophie et lettres s’attarderont volontiers à la première partie; ils aimeront réfléchir à la manière dont l’humanité a pu, il y a de nombreux millénaires, imaginer ces êtres abstraits que sont les nombres, apprendre à les manier et à utiliser les opérations qui les concernent. D’autres, surtout ceux qui ont plus de connaissances scientifiques, iront plutôt voir plus loin des exemples de paires de nombres amiables, ils passeront sans doute en revue les propriétés des nombres de Fermat, entre autres, ils s’attarderont peut-être à la relation entre les coefficients binomiaux et les nombres de la suite de Fibonacci, ils se remémoreront, plus loin encore dans le livre, des séries ayant une somme liée à l’un ou l’autre des nombres transcendants  ou e. Les philosophes de l’antiquité consacraient bien plus de leur temps à admirer par exemple les propriétés du nombre d’or, que je rappelle à la fin du livre, que ne le font les savants de nos jours, qui ont tellement d’autres choses à faire. Les nombres sont des êtres abstraits, qui sont remarquables par le caractère absolu et par conséquent universel de leurs propriétés. Par exemple, lorsque nous affirmons que sept est un nombre premier, tandis que six ou huit ne le sont pas, cela constitue une vérité non seulement pour nous, mais aussi pour tous les êtres pensants vivant sur d’autres planètes, voir dans d’éventuels autres univers. On peut établir leurs propriétés par raisonnement. C’est d’ailleurs plus d’une fois ce que j’ai fait pour des énoncés qui sont donnés dans ce livre; cela me prenait souvent moins de temps que d’aller les chercher ailleurs, bien que je sois évidemment conscient que cela avait presque certainement déjà été fait avant moi dans chaque cas. L’immense utilité pratique des nombres et de leurs propriétés est une évidence. C’est déjà le cas dans la vie courante; ce l’est plus largement et de plus en plus dans la résolution des problèmes qui se présentent en sciences pures et en sciences appliquées. À cet intérêt pratique, s’ajoute celui que leur confère notre curiosité, remontant à l’antiquité comme je viens de le rappeler, d’investiguer leurs propriétés si remarquables et diverses. Je souhaite aux lecteurs d’éprouver beaucoup de satisfaction à découvrir ou revoir toutes celles que ma mentalité de collectionneur m’a conduit à répertorier pour finalement les rassembler dans cet ouvrage. Pour rendre la lecture plus aisée pour tous, j’ai évité le formalisme et le langage de la théorie des ensembles. Je préfère ici utiliser le langage habituel, par exemple en parlant du nombre de choses dans un ensemble de ces choses plutôt que de dire que c’est le cardinal de cet ensemble. Mon, 23 Jan 2017 00:00:00 +0100 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=195 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=127 Dans le cadre général d'une théorie cohérente et complète de la formation de tous les éléments chimiques à partir d'hydrogène pur à l'intérieur des étoiles, il est intéressant de savoir quelles sont les conditions qui prévalent dans les étoiles d'hydrogène pur et, puisqu'on ne les observe pas dans la nature, quelle est la stabilité de ces étoiles. Fri, 08 Jul 2011 00:00:00 +0200 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=127 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=73 Spa possède un trésor, à nos yeux inestimable : ses sources d'eau carbo-gazeuse. Michel de Montaigne l'atteste, elles assurent depuis la Renaissance son éclatante renommée.  Quelles sont les propriétés de ces eaux pétillantes que les Anciens entouraient du respect que l'on doit aux présents des divinités généreuses?  Utilisons-nous encore les eaux de nos pouhons ardennais en obéissant obscurément aux mythes qui hantaient nos ancêtres?  Avons-nous aujourd'hui trouvé dans les assurances de la Physiologie, les vraies raisons des applications thérapeutiques des eaux carbogazeuses? Depuis plus de deux siècles, les médecins spadois ont dégagé les caractéristiques chimiques et biologiques des eaux de leur Cité.  Appliquant à l'analyse de leurs activités physiologiques la rigueur de la recherche scientifique, tous ceux qui nous ont précédé à l'Institut d'Hydrologie Henrijean ont montré comment les bains carbogazeux modifient les grandes fonctions de l'organisme et ont envisagé leurs actions thérapeutiques.  Pionniers en ce domaine, ils ont devancé les travaux des balnéologues allemands et français qui devaient, dans la suite, décrire les bienfaits des sources carbogazeuses de la Hesse, de la Bavière ou de l'Auvergne. Le moment est venu pour les chercheurs de l'Institut Thermal de Spa de faire la synthèse critique des observations antérieures, d'en dégager la part des hypothèses au bénéfice des·faits indiscutablement acquis.  Tel sera notre dessein : rassembler en un tout cohérent ce Thu, 11 Dec 2008 00:00:00 +0100 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=73 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=62 INTRODUCTION PREMIÈRE PARTIE : Préliminaires DEUXIÈME PARTIE : Quelques fondements de la théorie des V3 de S5 du type (1,1,1,1) TROISIÈME PARTIE : Étude des doubles systèmes conjugués de première espèce et des hyperplans bitangents BIBLIOGRAPHIE Erratum Thu, 20 Nov 2008 00:00:00 +0100 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=62 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=92 On sait que Smirnov a associé bijectivement aux compactifications de Hausdorff d'un espace de Tychonoff E des relations, dites de proximité, définies dans l'ensemble des parties de E[S].  Les travaux de Smirnov permettent donc d'étudier les compactifications séparées d'un espace topologique au moyen d'êtres mathématiques définis sur cet espace lui-même.  Nous avons cherché à résoudre le même problème en nous affranchissant de l'axiome de Hausdorff.  On constatera que la méthode que nous avons mise au point est essentiellement différente de celle de Smirnov et qu'elle englobe les compactifications habituellement rencontrées, notamment celle de Wallman. Signalons que chaque chapitre de notre article est précédé d'un résumé introductif Wed, 24 Dec 1980 00:00:00 +0100 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=92 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=87 Cette étude concerne les problèmes aux limites de DIRICHLET-NEUMANN pour les opérateurs matriciels de dérivation hyperboliques, des premier et second ordres, linéaires à coefficients constants. Ces problèmes sont posés dans un ouvert de l'espace euclidien à n dimensions. Nous adoptons une formulation généralisée débarrassée au maximum de toute hypothèse superflue tant sur les données que sur l'ouvert.  La solution du problème ainsi posé existe toujours, est unique et se réduit à la solution du problème classique, si celui-ci peut être considéré. On pose généralement de tels problèmes dans le cadre des espaces de HILBERT, ce qui impose des restrictions à l'infini lorsque l'ouvert n'est pas borné.  Pour lever ces restrictions et mettre en évidence le caractère local, lié à l'hyperbolicité, des propriétés de la solution, nous nous plaçons dans des espaces plus généraux attachés à l'énergie et conservant ainsi une signification physique. Bien entendu, si on impose aux données des conditions d'intégrabilité à l'infini, la formulation adoptée se réduit à la formulation hilbertienne. Nos problèmes sont résolus par une méthode nouvelle d'après une idée de C. H. WILCOX que nous avons approfondie et généralisée. Cette méthode est directe et résout le problème à partir de l'opérateur donné, sans passer par le problème stationnaire correspondant.  Elle est basée sur une inégalité d'énergie établie à priori, qui permet de traiter le problème pour les données assez régulières et, par densi Tue, 23 Dec 1980 00:00:00 +0100 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=87 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=81 Ce mémoire reprend la deuxième partie de notre thèse de doctorat, défendue le 3 avril 1963 à l'Université de Liège. Cependant, nous avons ramené le cadre logique à la théorie classique des ensembles de Zermelo-Fraenkel et adopté la définition des ordinaux due à Robinson.  Ceci a été rendu possible par l'introduction d'un chapitre sur les microcosmes, inspiré d'ailleurs des ensembles inaccessibles de Tarski et des univers de Grothendieck. Le problème abordé ici est un problème de structure algébrique des catégories.  Cette structure est notamment utilisée en cohomologie non abélienne et dans la théorie des espaces fibrés. Le problème du quotient dans les catégories revêt aussi l'intérêt suivant.  Si nous distinguons les « petites »catégories dont les éléments forment un ensemble et qui servent d'auxiliaires pour définir certains concepts (diagrammes, limites inductives, faisceaux, etc.), et les catégories qui sont en elles-mêmes un objet d'étude, nous constatons que ces dernières sont en pratique, soit des catégories dont les objets sont les ensembles munis d'une certaine structure et dont les éléments sont les homomorphismes (par exemple les catégories des groupes ou des espaces topologiques), soit des quotients de celles-ci (par exemple la catégorie des espaces de Hopf). Le but de notre travail a été d'introduire l'étude de cette question qui pose encore d'importants problèmes, comme celui de caractériser les injections et les surjections dans les espaces de Hopf.  Signalons Fri, 12 Dec 1980 00:00:00 +0100 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=81 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=104 Le présent travail est consacré à l'étude des réseaux dans les espaces linéaires à semi-normes et à leur application au théorème du graphe fermé et aux propositions connexes. Précisons le contenu de ce mémoire en rappelant rapidement les diverses améliorations apportées jusqu'ici au théorème du graphe fermé de S. Banach.  Considérons deux espaces linéaires à semi-normes et un opérateur linéaire agissant de l'un, appelé espace de départ, dans l'autre, appelé espace d'arrivée. Le théorème du graphe fermé vise à conclure que l'opérateur est continu quand son graphe est fermé, moyennant des hypothèses convenables sur les deux espaces. Le théorème de Banach s'appliquait entre des espaces métriques complets. J. Dieudonné et L. Schwartz l'étendent entre des limites strictes d'espaces de Fréchet.  La même année, G. Küthe généralise leur résultat entre des limites inductives dénombrables mais non strictes. V. Ptak constate que le théorème de Banach est valable pour un espace de départ tonnelé et introduit, pour l'espace d'arrivée, la notion d'espace B-complet.  Des travaux ultérieurs de A. P. et W. Robertson et V. Ptak notamment contribuent à développer la théorie des espaces B-complets.  Les résultats obtenus dans cette voie donnent une analyse fine de la démonstration du théorème du graphe fermé par le dual, mais n'enrichissent guère ses possibilités d'application.  En effet, on connait peu d'exemples d'espaces B-complets et leurs propriétés de permanence sont relativement pauvres. A. Grothendieck démontre qu'on peut prendre l'espace de départ ultrabornologique, l'espace d'arrivée limite inductive d'une suite d'espaces de Fréchet et le graphe de l'opérateur fermé pour les suites.  Il conjecture que son énoncé est valable pour une classe d'espaces d'arrivée qui contienne, outre les espaces de Banach, les espaces qui s'en déduisent par les opérations suivantes : produit, somme directe, limites inductive et projective dénombrables, passage à un quotient et à un sousespace linéaire fermé. Les premières contributions à la solution du problème de A. Grothendieck sont dues à W. Slovvikowski  et D. A. Raikov.  Ces auteurs décrivent une classe d'espaces d'arrivée admissibles qui contient les espaces métriques complets et qui est stable pour les opérations décrites plus haut. Toutefois la définition de ces espaces est très compliquée et leur maniement lourd.  En outre, le cas où le graphe de l'opérateur est seulement fermé pour les suites n'est pas envisagé.  S'appuyant sur sa théorie de la mesure, L. Sclnvartz établit qu'on peut supposer l'espace de départ ultrabornologique, l'espace d'arrivée souslinien et le graphe de l'opérateur borélien. A. Martineau démontre le théorème de L. Schwartz en n'utilisant que des propriétés de catégorie.  Les espaces sousliniens jouissent de propriétés de permanence assez larges qui permettent d'en fournir un certain nombre d'exemples intéressants.  Toutefois, ils sont nécessairement séparables et, de ce fait, l'énoncé de L. Schwartz ne recouvre pas celui de S. Banach.  En outre, il ne permet pas de supposer le graphe fermé pour les suites, hypothèse essentielle dans les applications. Une tentative d'unification des résultats de S. Banach et de L. Schwartz nous a conduit à introduire les espaces à réseau, qui constituent une classe d'espaces d'arrivée admissibles plus générale que celle des espaces sousliniens.  Ces espaces s'avèrent répondre en tout point à la conjecture de A. Grothendieck.  Ils possèdent de larges propriétés de permanence, qui s'étendent notamment à des duaux, des espaces d'opérateurs et des produits tensoriels.  Les exemples en sont nombreux et s'obtiennent, pour la plupart, par des procédés élémentaires.  Enfin la notion de réseau permet d'améliorer les conclusions du théorème du graphe fermé et donne naissance à des propriétés nouvelles de localisation et de relèvement. Décrivons succinctement le contenu de notre travail. Dans le chapitre I, nous introduisons les réseaux de type C et nous en fournissons quelques exemples simples.  Nous démontrons ensuite qu'ils possèdent les propriétés de permanence qui correspondent à la conjecture de A. Grothendieck. Le chapitre II est consacré au théorème du graphe fermé et aux propositions connexes pour des espaces à réseau de type C.  En variant les hypothèses sur le graphe de l'opérateur et sur les espaces considérés, on obtient une profusion d'énoncés que l'introduction de relations linéaires permet d'unifier. L'hypothèse que le graphe de l'opérateur soit fermé est, dans la plupart des cas, remplacée par l'hypothèse beaucoup plus simple à vérifier qu'il soit fermé pour les suites.  Un examen précis des démonstrations montre que la notion de réseau de type C peut être affaiblie de diverses façons. Nous introduisons les types de réseau correspondant à ces affaiblissements et nous démontrons les théorèmes du graphe fermé et les propriétés de permanence auxquels ils donnent lieu. Au chapitre III, l'étude des théorèmes du type du graphe fermé est poussée plus loin.  Dans leur forme classique, ils expriment qu'un opérateur est continu ou ouvert, donc ils établissent des comparaisons entre les voisinages des espaces entre lesquels il agit.  En fait, les voisinages d'un des espaces se comparent aux ensembles du réseau de l'autre.  Cette constatation conduit à deux sortes de résultats : des théorèmes de localisation et des théorèmes de relèvement qui correspondent respectivement aux théorèmes du graphe fermé et de l'opérateur ouvert.  Pour exprimer les propriétés de relèvement avec une généralité correcte, nous introduisons les notions de suites très convergentes et d'ensembles très compacts, qui nous ont été suggérées par L. Schwartz.  D'autre part, les propriétés de localisation s'expriment de manière particulièrement simple pour un type de réseau un peu moins général que les réseaux de type C, les réseaux stricts.  Les exemples que nous en donnons et leurs propriétés de permanence leur confèrent une généralité quasi égale à celle des réseaux de type C. Au chapitre IV, nous montrons comment les propriétés de localisation permettent d'engendrer de nouveaux réseaux, principalement dans les espaces d'opérateurs et, partant, dans les produits tensoriels. Le chapitre V est consacré à quelques applications des résultats des chapitres précédents. Nous examinons d'abord le problème suivant.  Étant donné un ensemble d'opérateurs linéaires agissant d'un espace E dans un espace F, limite inductive d'une suite d'espaces Fi, dans quelles conditions peut-on affirmer que ces opérateurs agissent de E dans un des Fi et qu'ils sont équicontinus dans cet Fi? La question a été formulée par R. A. Hirschfeld et résolue par G. Küthe  dans le cas où E et Fi sont des espaces de Fréchet.  C'est en fait un problème de localisation et nous montrons que les théorèmes de localisation mentionnés plus haut en fournissent une solution plus générale.  Les théorèmes de relèvement sont appliqués à démontrer des théorèmes d'homomorphisme et permettent notamment de vérifier une conjecture de L. Schwartz sur le relèvement des parties bornées d'un quotient d'un dual d'espace LF.  Nous illustrons le théorème du graphe fermé proprement dit en démontrant l'équivalence des bases faibles et des bases de Schauder dans les espaces bornologiques séquentiellement complets et à réseau de type C.  Enfin, sur la base d'une idée de A. Mac Intosh, nous montrons qu'il est parfois possible d'améliorer l'hypothèse d'ultrabornologie imposée dans les théorèmes du graphe fermé, ce qui fournit des possibilités d'application à des espaces usuels non bornologiques. Au chapitre VI, nous abordons l'étude des ensembles sousliniens et du théorème du graphe borélien de L. Schwartz, dans la version de A. Martineau.  Nous démontrons d'abord que l'axiome de Zorn peut y être évité pour l'essentiel des résultats.  Nous prouvons que le théorème de L. Schwartz s'étend à des opérateurs à graphe sq-borélien donc notamment à graphe fermé pour les suites.  Enfin, en faisant intervenir explicitement le crible des espaces sousliniens, nous obtenons des théorèmes de localisation.  Ceux-ci débouchent, d'une part, sur de nouvelles propriétés de permanence es espaces sousliniens, concernant principalement les espaces d'opérateurs t les produits tensoriels et, d'autre part, sur un théorème de relèvement des suites très convergentes. L'exigence d'une théorie suffisamment générale des limites inductives dénombrables nous a conduit à leur consacrer un appendice, où l'on trouve une synthèse es propriétés utilisées dans le texte. Dans l'ensemble du travail, nous nous plaçons dans le cadre des espaces linéaires à semi-normes, ou espaces vectoriels topologiques localement convexes et séparés.  Les espaces usuels de l'analyse apparaissent naturellement équipés de semi-normes et c'est à partir de ces semi-normes qu'on y définit des topologies adéquates.  Leur étude directe à partir de leurs semi-normes permet de les aborder de manière simple et efficace, sans l'acquis d'un bagage important de topologie.  C'est pourquoi elle nous paraît plus aisée pour les applicateurs familiers des espaces de Banach.  D'autre part, pour qui connait les espaces vectoriels topologiques généraux, la transposition en termes topologiques découle immédiatement du fait que les semi-normes sont les jauges associées aux voisinages absolument convexes de l'origine. Nous adoptons la terminologie généralement reçue. Les définitions et les notations universellement admises ne sont pas rappelées. Celles dont l'acception varie selon les auteurs ou dont l'usage n'est pas courant sont explicitées dans le texte. Un index terminologique permet de s'y référer rapidement. Dans Garnir et al. (*) l'analyse fonctionnelle est développée sans qu'il soit fait usage de l'axiome de Zorn ou d'axiomes équivalents. Ici, son intervention est discutée dans tous les résultats obtenus.  Nous adoptons à cet égard les conventions suivantes : a) un énoncé qui disparaît quand on n'utilise pas l'axiome de Zorn est précédé de (Z) ; b) si son intervention peut être évitée par une hypothèse supplémentaire, cette hypothèse est mentionnée entre crochets ; c) tout énoncé non précédé de (Z) et sans hypothèse entre crochets en est complètement indépendant. Bien entendu, dans cette analyse, nous nous sommes appuyé sur les résultats de Garnir et al. (*). ___________________________________________________________ (*) H.G. Garnir, M. De Wilde, J. Schmets, Analyse fonctionnelle (Théorie des espaces linéaires à semi-normes); I. Mathematische Reihe, 36, Birkäuser Verlag, Basel uns Stuttgart, 1968. Wed, 01 Oct 1980 00:00:00 +0100 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=104 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=119 Le problème de l'équilibre et de la stabilité d'une masse fluide homogène incompressible m1 soumise à l'effet de marée d'un compagnon m2 et animée ou non d'un mouvement de rotation uniforme fut considéré pour la première fois par Roche dans ses études sur la constitution et l'origine du système solaire. Il montra que la figure d'équilibre peut être un sphéroïde allongé dans le cas le plus simple (m1 sans rotation) et, moyennant certaines hypothèses, un ellipsoïde à 3 axes inégaux (al > a2 > a3) dans l'autre cas. Jeans reprit le problème et en discuta quelques applications astronomiques ; il étudia ainsi la stabilité du sphéroïde (appelé depuis lors sphéroïde de Jeans) par la méthode des séries linéaires de Poincaré. Récemment, Chandrasekhar et Lebovitz déterminèrent, sur la base du théorème du viriel, les fréquences des petites oscillations du sphéroïde et de l'ellipsoïde pour les harmoniques de surface de degré l = 2. Dans ce travail, nous étudions successivement la stabilité dynamique des deux figures par la méthode générale des petites perturbations. Nous établissons ainsi la formule générale donnant toutes les fréquences d'oscillation du sphéroïde et les équations aux valeurs propres déterminant les fréquences de l'ellipsoïde associées aux harmoniques de Lamé de degré 2 et 3, Nous considérons ensuite la stabilité séculaire des deux figures ; d'abord par la méthode des coefficients de stabilité de Poincaré, puis par les équations du viriel ; nous montrons en particulier que l'instabilité séculaire de l'ellipsoïde précède son instabilité dynamique et qu'elle apparaît par un mode purement visqueux (c.-à-d. se manifestant seulement en présence de viscosité). Wed, 01 Oct 1980 00:00:00 +0100 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=119 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=121 The present review covers mainly results obtained during the last twelve years. In 1958 I published in the Handbuch der Physik a general exposition on the role played by molecules in stars and, of course, this included the free radicals.  I refer to this general text for details on stellar work prior to 1958.  The main topics included in this Handbuch article were the following : (1) Presence of radicals (in the gaseous phase) in the atmosphres of the earth, sun, planets, comets, stars and interstellar space.  Is there a local thermodynamic equilibrium (LTE) or not ? (2) Information on vibrational and rotational temperatures, chemical compositions, densities, isotopes, physical processes. (3) Di- and tri-atomic radicals in stars. (4) The Sun a typical G2V-star; its photosphere, spots and chromosphere ; need for further laboratory measurements ('s and probabilities) and high resolution scans. (5) Importance of bands for spectral classification (spectral classes and absolute magnitudes) ; normal stars ; populations I and II ; stars poor (or rich) in H. (6) Molecules in M-; S-·and C stars. (7) Molecules in variable stars. (8) Molecular emission mechanisms in stars (especially AlO, AlH and CN). (9) Continuous opacity of molecules. In the course of the last few years several important reviews have been devoted to the spectra of comets.  Hence I shall simply summarize briefly the work in the field of cometary physics. On the other hand I shall give some detail on a few recent spectacular results, especially those on the role of the hydroxyl radical in interstellar physics.  Quite a few puzzles remain outstanding in this domain. Wed, 01 Oct 1980 00:00:00 +0100 https://popups.uliege.be/0369-1799/index.php?id=121