RECHERCHES SUR LES PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES DE CERTAINES VARIÉTÉS À QUATRE DIMENSIONS

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1Les travaux d'Einstein (1879-1955) basés sur ceux de Christoffel (1826-1866), Riemann (1829-1900) et Lie (1842-1899) et leurs nombreux développements ultérieurs consistent à ramener l'étude de certaines propriétés physiques de l'univers à l'étude des propriétés géométriques d'un espace non-euclidien à quatre dimensions".  On a ainsi construit des espaces appelés modèles d'univers ou modèles cosmologiques dont la structure géométrique était censée faire naître des propriétés physiques observées ou observables.  La difficulté pour les cosmologistes consiste dans le fait que l'on n'a pas trouvé le modèle cosmologique absolu, celui dont les propriétés géométriques intrinsèques seraient à même d'expliquer tous les phénomènes physiques; autrement dit, la théorie unitaire, chère à Einstein, n'est pas encore mise sur pied; soit que l'on n'ait pas encore trouvé le modèle d'univers parfait, soit que l'outil employé ne soit pas encore suffisamment raffiné.  Néanmoins, dans le cadre actuel, la théorie de la relativité générale reste un des outils les plus perfectionnés dont dispose le théoricien en vue de la connaissance de l'univers et on se trouve ainsi en présence de nombreux modèles cosmologiques répondant le mieux à des titres différents à certaines propriétés que l'on veut étudier.

2Dans ce travail, nous avons étudié les propriétés géométriques intrinsèques d'un ensemble assez large de ces modèles et nous avons présenté ces propriétés de manière aussi systématique que possible.  Nous avons voulu donner un outil de travail au praticien en débarrassant une fois pour toutes l'étude physique proprement dite de ces modèles d'univers quadridimensionnels d'un arsenal mathématique assez lourd et en lui donnant le maximum de propriétés intrinsèques qui réciproquement lui permettront de choisir un modèle particulièrement bien adapté à l'étude qu'il veut entreprendre.

3Dans le premier chapitre, nous avons cité sans démonstration, les critères de classification des variétés riemanniennes, nous renvoyons le lecteur aux manuels classiques traitant la question pour obtenir de plus amples informations.

4Dans le second chapitre, nous exposons le genre des modèles considérés. Étant donné une variété riemannienne V₄, à connexion de Levi-Civita, ayant une métrique de type hyperbolique normal (signature - - - +), dont les coordonnées locales généralisées sont x^l, x², x³, x⁴, nous avons imaginé qu'on pouvait lui imposer les conditions suivantes :

5C.I. Les surfaces (V₂) {x^l = c^ste, x⁴ = c^ste} sont des surfaces à courbure de Gauss constante et à métrique définie.

6C. II. Les surfaces (V₂ ) {x² = c^ste, x³ = c^ste} sont totalement géodésiques dans la V₄.

7Nous allons rechercher toutes les variétés riemanniennes à 4 dimensions de type hyperbolique normal qui satisfont aux conditions CI et C II et nous nous proposons ensuite d'en étudier les propriétés géométriques et de pouvoir ainsi en établir des classifications.

8Au chapitre III, nous énumérons les symboles de Christoffel, les composantes des tenseurs de Riemann, de Ricci et de courbure conforme de ces modèles; enfin, nous déterminons lesquels sont pseudo-euclidiens et lesquels sont conformément plats.

9Le chapitre IV étudie la notion géométrique qui à notre sens paraît la plus importante: la classe des modèles étudiés.  Nous élargissons ainsi l'ensemble connu des variétés riemanniennes quadridimensionnelles de classe deux.

10Le chapitre V détermine de façon systématique tous les groupes de mouvements et les algèbres de Lie associées des espaces considérés.

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