PROBLÈMES AUX LIMITES POUR LES OPERATEURS MATRICIELS DE DÉRIVATION HYPERBOLIQUES DES PREMIER ET SECOND ORDRES

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1Cette étude concerne les problèmes aux limites de DIRICHLET-NEUMANN pour les opérateurs matriciels de dérivation hyperboliques, des premier et second ordres, linéaires à coefficients constants.

2Ces problèmes sont posés dans un ouvert de l'espace euclidien à n dimensions.

3Nous adoptons une formulation généralisée débarrassée au maximum de toute hypothèse superflue tant sur les données que sur l'ouvert.  La solution du problème ainsi posé existe toujours, est unique et se réduit à la solution du problème classique, si celui-ci peut être considéré.

4On pose généralement de tels problèmes dans le cadre des espaces de HILBERT, ce qui impose des restrictions à l'infini lorsque l'ouvert n'est pas borné.  Pour lever ces restrictions et mettre en évidence le caractère local, lié à l'hyperbolicité, des propriétés de la solution, nous nous plaçons dans des espaces plus généraux attachés à l'énergie et conservant ainsi une signification physique.

5Bien entendu, si on impose aux données des conditions d'intégrabilité à l'infini, la formulation adoptée se réduit à la formulation hilbertienne.

6Nos problèmes sont résolus par une méthode nouvelle d'après une idée de C. H. WILCOX que nous avons approfondie et généralisée.

7Cette méthode est directe et résout le problème à partir de l'opérateur donné, sans passer par le problème stationnaire correspondant.  Elle est basée sur une inégalité d'énergie établie à priori, qui permet de traiter le problème pour les données assez régulières et, par densité, de passer au cas général.  Pour le premier ordre, c'est la seule connue pour poser et résoudre ces problèmes au degré de généralité que nous nous sommes imposé. La méthode courante de réduction du système du premier ordre à une équation d'ordre supérieur impose des restrictions inadmissibles.

8En ce qui concerne le second ordre, il semble que, dans les conditions générales où nous nous plaçons, les méthodes exploitées jusqu'à présent (transformation de LAPLACE, méthodes spectrales) ne peuvent fournir aussi facilement les mêmes précisions relatives à la nature et aux propriétés de la solution.

9Dans les deux cas, nous retrouvons d'une manière naturelle un fait caché, que seule la résolution spectrale faisait apparaître, à savoir que la distribution solution est en fait la distribution d'une fonction.  De plus, la méthode met particulièrement en évidence les propriétés, liées à l'hyperbolicité, des ensembles d'action et de dépendance.

10Débordant légèrement du cadre des opérateurs hyperboliques, nous avons traité rapidement, par la même méthode, les problèmes aux limites relatifs aux opérateurs stationnaires associés aux opérateurs hyperboliques considérés.  Insistons sur le fait que ces opérateurs ne sont pas nécessairement elliptiques ou auto-adjoints.

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