Sur la géométrie de l'espace des opérateurs différentiels linéaires sur R
Centre de Physique Théorique CPT-CNRS, Luminy Case 907, F-13288 Marseille, Cedex 9, FRANCE
Résumé
Nous étudions une famille naturelle à deux paramètres de Diff(R)- et Vect(R)-modules sur l'espace des opérateurs différentiels linéaires sur R. Le problème de classification est résolu en utilisant les cohomologies de l'algèbre de Lie Vect(R) des champs de vecteurs sur R à coefficients dans l'espace Hom(, ,) des homomorphismes de densités tensorielles. Les modules des opérateurs différentiels sont liés à la géométrie différentielle projective. Nous trouvons une série de classes de cohomologie non triviales dans H1 (sl2(R) ; Hom(n/2, -n/2-1)), qui apparaissent en considérant la restriction des Vect(R)-modules des opérateurs différentiels à la sous-algèbre des symétries projectives sl2(R) Vect(R).
Abstract
We study a natural two-parameter family of Diff(R)- and Vect(R)-modules on the space of al1 linear differential operators on R. The classification problem is solved using cohomologies of the Lie algebra Vect(R) of vector fields on R with coefficientsin the space Hom(, ,) of linear maps on tensor-densities. The modules of differential operators are related to the projective differential geometry. We find a series of nontrivial cohomology classes in H1 (sl2(R) ; Hom(n/2, -n/2-1)) appearing if one considers the restriction of Vect(R)-modules of differential operators to the subalgebra of projective symmetries sl2(R) Vect(R).