LE PROBLÈME DU QUOTIENT DANS LES CATÉGORIES

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1Ce mémoire reprend la deuxième partie de notre thèse de doctorat, défendue le 3 avril 1963 à l'Université de Liège.

2Cependant, nous avons ramené le cadre logique à la théorie classique des ensembles de Zermelo-Fraenkel et adopté la définition des ordinaux due à Robinson.  Ceci a été rendu possible par l'introduction d'un chapitre sur les microcosmes, inspiré d'ailleurs des ensembles inaccessibles de Tarski et des univers de Grothendieck.

3Le problème abordé ici est un problème de structure algébrique des catégories.  Cette structure est notamment utilisée en cohomologie non abélienne et dans la théorie des espaces fibrés.

4Le problème du quotient dans les catégories revêt aussi l'intérêt suivant.  Si nous distinguons les « petites »catégories dont les éléments forment un ensemble et qui servent d'auxiliaires pour définir certains concepts (diagrammes, limites inductives, faisceaux, etc.), et les catégories qui sont en elles-mêmes un objet d'étude, nous constatons que ces dernières sont en pratique, soit des catégories dont les objets sont les ensembles munis d'une certaine structure et dont les éléments sont les homomorphismes (par exemple les catégories des groupes ou des espaces topologiques), soit des quotients de celles-ci (par exemple la catégorie des espaces de Hopf).

5Le but de notre travail a été d'introduire l'étude de cette question qui pose encore d'importants problèmes, comme celui de caractériser les injections et les surjections dans les espaces de Hopf.  Signalons en passant que les problèmes traités dans cette thèse sont indépendants des catégories quotients définies par A. Grothendieck pour généraliser le langage modulo C de J. P. Serre.

6Au chapitre I, après avoir défini les microcosmes et en avoir donné les premières propriétés, nous rappelons les notions générales concernant les catégories.

7Nous introduisons alors l'étude des endomorphismes constants et des objets ponctuels, ce qui nous permettra, de donner, au chapitre III, un critère d'existence de solutions aux problèmes universels.

8Au chapitre II, nous étudions la notion d'espèce de structure, déjà définie par N. Bourhakidans un cadre restreint et complexe, et améliorée par P. Dedecker.  Les espèces de structures nous permettent de donner un sens géométrique aux problèmes universels.  Nous pouvons alors définir les objets libres, étendant à une catégorie quelconque la notion de groupe libre, et étudier leurs rapports avec les foncteurs adjoints de D. M. Kan.

9Le chapitre IV est consacré aux équivalences sur les objets d'une catégorie représentée.  Nous y donnons une définition intrinsèque de la saturation.

10Une équivalence sur un objet pose un problème universel à la solution duquel nous attribuons le nom de quotient.  Dans les catégories particularisées (ensembles, groupes, espaces topologiques, etc.), on retrouve d'ailleurs la définition usuelle.  Nous en étudions les premières propriétés, démontrant notamment la transitivité des quotients et leur existence dans le cas des structures covariantes, théorème d'où l'on peut tirer une preuve de l'impossibilité de transporter de manière fonctorielle une structure de groupe par une application.

11Toute surjection ne déterminant pas un quotient, nous avons introduit, au chapitre V, les quotients successifs d'ordre « alpha ».  Nous en avons déduit des critères d'existence des bornes inférieures et supérieures d'une famille de surjections de même source.

12Enfin, le dernier chapitre concerne la catégorie des catégories.  Nous montrons que toute équivalence y admet un quotient qui est un objet-libre engendré par un système multiplicatif, et complétons ainsi les résultats de Maria Hasse.  Nous y étudions également les conditions pour que la catégorie quotient ait pour classe sous-jacente le quotient ensembliste.

13Depuis notre défense de thèse, dans son séminaire de Topologie et de Géométrie Différentielle, C. Ehresmann a étudié des questions fort voisines, surtout de celles de notre dernier chapitre. Nous avons jugé utile d'indiquer en note sa terminologie.

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