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- Volume 41 - Année 1972
- Numéro 1 - 2
- DISTRIBUTIVE SEMILATTICES AND BOLEAN LATTICES
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DISTRIBUTIVE SEMILATTICES AND BOLEAN LATTICES
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Résumé
Nous montrons que, dans la définition classique d’un lattis de Boole comme lattis distributif complémenté, le mot lattis peut être replacé par demi-lattis. La notion de 0-distributivité, introduite dans [J.C. Varlet, Bull. Soc. Roy. Sci. Liège, 37 (1968), 149-158], est appliquée ici aux ^-demi-lattis et caractérisée comme suit : un ^-demi-lattis borné est 0-distributif si et seulement si tout filtre maximal est premier. Le théorème de séparation dû à Stone est étendu aux demi-lattis : un ^-demi-lattis filtrant supérieurement est distributif si et seulement si tout couple formé d’un filtre et d’un idéal disjoints peut être séparé par un filtre premier. Enfin il est établi que le théorème de Nachbin (un lattis distributif borné est boléen si et seulement si filtres premiers et filtres maximaux coïncident) reste vrai si l’on substitue à l’adjectif distributif les mots «très faiblement complété», c’est-à-dire : l’idéal zéro est le noyau d’une seule congruence, l’identité.
Pour citer cet article
A propos de : J. C. Varlet
Institut de mathématique, 15 avenue des Tilleuls, 4000 Liège